lafmad

今年旁听谷源涛老师的课。

不要觉得学的东西太抽象。在大学阶段学的所有数学，在真实世界都有起对应物，是真实物理世界的反映和描述，所有的思考都可以或曾经用来解决真实的问题。真实世界有足够多的场景提供了足够多的应用。”。 “比如h（z），就是一个程序。h（s），就是一块电路板。”

“近几十年的发展，都是信号处理技术的发展”（例子1：路由器天线由1根变2根变6根，是因为以前造不出来。例子2：同样的铜导线，为什么传输速率提高？）。

所有的教材：始于时域分解，引入卷积（卷积是线性叠加的直接结果，没有概念跳跃，其符号系统的复杂性不该影响理解）。

进入傅里叶后，建立在一个假设上，就是线性时不变系统（概念上非常直观）下，周期信号可以分解为弦信号。而后频谱只是一个符号系统。

如果在理解前必须先记住结论的话，那么我希望记住的结论越少越好，其他的性质可以明确且直观的得出。

####1、信息的维度？

如果一个信息，一个实数即可完全确定，那么这是一个一维信息（几何对应 线 的概念）。比如你数一堆石头，量一个人的身高，付多少钱买东西。

如果一个信息，两个实数即可完全确定，那么这是一个二维信息（几何对应 面 的概念）。比如你想确定平面照片上某个点的位置。或者确定的某座山的地理坐标，需要经纬度。

如果一个信息，三个实数即可完全确定，那么这是一个三维信息（几何对应空间的概念）。比如你想完全确定你现在在地球的位置，需要经度、纬度、高度。

一个平面信息，如果精度不高，允许离散化，那全部信息只需要一个实数完全确定，那还是一维信号，比如把一个正方形区域分为100等份，标上1-100，那么给定一个数，就可以确定其位置。

一个空间信息，如果精度不高，允许离散化，那全部信息只需要一个实数完全确定，那还是一维信息，比如把一个立方体分为1000等份，标上1-1000号，那么给定一个数字，就可以确定其位置。再简单点，一个房间一分为2，那么只用0和1就可以表明你在哪半个房间了。

####2 二维信息的符号描述——向量或复数

既然一个二维信息本质上就是两个实数，那么最简单的描述就是（x，y）。在现实世界中有对应物，一个从（0，0）指向（x，y）的有方向的线段，称为向量（x，y）。

但还有一种方式描述向量，更加符合人类的直观，对应于真实世界人类的认识，就是从长度和角度去观察。比如我们想问从清华西门怎么去北大东门，直观的回答（正常人类的回答）是有多远，往哪个方向走。而不是确定一个原点做一个直角坐标系或极坐标系，从而得到清华西门和北大东门的直角坐标或经纬度（如果听到这种回答你有何感想？O(∩_∩)O）。这种角度下我们可以记向量为 A∠θ，A为向量长度，θ为向量张角。

对于一条有向线段，那就有以下两种描述方式：①坐标（x，y）；②长度和角度，A∠θ 这两者表述的是同一个东西，具有完全相同的信息量——两个实数即可确定。那么相互之间的运算规则是什么？

对于描述方式①，我们可以将某个向量(a,b)记为 a+bi，在这个符号系统上，这个记号i无需任何操作定义，只要区别开a和b是两个不同的一维信号即可。但在几何意义下，为了得到长度和角度的简单关系，需要a和b所在的一维信号是垂直的。所以如果赋予i逆时针转90°的操作定义，那么从一维的向量(b,0)×i后，可以得到新的维度下的向量（0，b），从而二维的复数（a+bi）=（a,0）+(0,b)就有很明确的的几何性质了。

基于以上讨论，复数和向量等价。一个二维信号，既可以记为向量（a,b）或A∠θ，也可以记为复数(a+bi)或Ae^iθ。其中i为复数记号，对应的几何性质是i若乘以一个向量，则该向量逆时针转90°。

现在，我们来讨论向量的运算——加减乘除。作为描述向量运算的符号系统，向量运算后得到的新向量，必须有很好的几何性质（长度和角度）。之所以要引入i这个符号，并且i²=-1，都是为了这个目的。</br>（这完全是人为的规定，但这规定本身对应着很好的几何操作，得到的结果也有很好的几何性质，所以你也可以认为这是自然的规定。所谓的好，就是作为符号工具，有利于人类描述真实世界，具体到本例中，说的是描述向量的性质。所谓的自然，即有良好的几何性质，因为几何是人类对世界的直观体验。人有对符号系统做任何规定的自由，但最好的总是最简洁和自然的。）

加减法的直觉，即两个一维信息各自独立进行加减法。结果也有很好的几何对应，因为这样得到的两个向量，就是平行四边形的对角线向量。这种良好的几何性质，有利于描述真实世界。符号系统下，只需要（a+bi）+(c+di)=（ac，bd），即（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i （这完全是人为的规定，但却有良好的几何背景。继续刚才那个问路的例子，假如你从清华西门到了北大东门，要继续去北大西门，那么就是两个向量相加的例子，用人类直观的描述方式②，却不太好相加）

但向量的乘除法并不是加法所相同的直觉延伸，我们没有采用同维度数相乘，得到向量（ac，bd），而是采用了描述乘法，描述除法。因为在现实中，（ac，bd），(a/c,b/d)并没有很好的对应向量，没有体现出描述工具的价值。而，却有对应物，而且有很好的几何性质。即新向量是两者长度的乘积，且角度是两个向量角度的和。新向量是两者长度的除法，且角度是两个向量的角度的差。

那么一维下的乘除法规则怎么联系上二维的向量乘除法规则呢。当然我们可以完全用这种带括号的记法运算，但乘除法会比较难记忆，怎样可以简化记忆呢？如果我只想运用一维下加减乘除的定义？而且，肯定是只需要一维下加减法定义，因为相信自然是简洁的。

那么乘法 （a+bi）×（c+di）=（ac-bd）+i(bc+ad)的唯一方法，就是i²=-1，这是符号系统的要求。而且有很好对应的几何操作规则，与加法下的操作定义完全吻合：再次旋转90°，就是负号了。除法遵循完全相同的规则。

####3、什么是信号 ？信号的维度？什么是复信号？

信号即信息随时间的传播，每一时间点都有一个信息。这个信息是一维的，就是实信号，是二维的，就是复信号。

对于实信号，即一个关于y关于t的函数，给定t，我们就能得到一个y的信息，而且这个y是一维信息，即一个数就可以表征其信息。比如y=cost。比如对于t=1，得到的是y（1）=cos1

对于复信号，对于给定的t，同样是得到y的信息，不过这个y是个二维信息，比如y=3e^j2t。比如对于t=1，得到的是y（1）=3e^j2， 所以每个t，对于的是一个二维信号，如果以t-re-im为三个轴的话，可以得到复信号的空间图形。示波器上，也可以得到一个旋转的圆，因为t轴由我们自己的时间感觉补充了。

实信号是复信号的特例。如图所示（空间图，平面截面图，平面示意图）。

每个截面上是二维信号，但若要完全描述信号信息，作为连续信号需要无限个复数，即无限维的二维信号。作为离散信号，需要N个复数，即N维的二维信号。在你能够明白意思，不引起混乱的情况下，可以称连续信号为无限维的信号，离散信号为N维信号。

####4、什么是系统？系统作为一个信号

系统是一个黑盒子，其作用就是进行某种变换，将输入信号变成输出信号。（符号系统下，系统是一个函数，将输入函数变成输出函数）。

线性是什么意思，就是视频里这个例子【MIT印度那个老师的视频节选】

时不变呢？就是输入信号上延迟或提前，输出信号也同等延迟或提前。 人类大部分思维方式都是线性时不变的。

对于线性时不变系统，只要知道系统对于零时刻单位信号的输出，其他所有时间点的输出都可以通过平移加权得到。因此，系统信息可以用一个信号来描述，即系统对 零时刻单位信的输出。这个输出信号就完全描述了系统的性质。因此，系统就是的符号系统和分析方式完全等同于信号。

####5、信号与系统的核心思想——信号的分解

人类对复杂问题最直观的处理方法就是化繁为简，各个击破。信号与系统的核心思想就在于此。我们将一个输入信号分解为一些简单信号，从而可以容易的得到系统对每个简单信号的输出，然后将所有输出线性叠加。这样得到的总输出和系统对原信号的直接输出完全一样。（具有这种性质的系统被称为线性时不变系统，本科阶段的信号系统学习的都是线性时不变系统）

信号分解有两种，一种非常直观，就是把信号分成一个个时间点的信息，考察每一个时间点的信息对输出的贡献。由于系统是线性时不变的，只要知道系统对于零时刻单位信息的输出，其他所有时间点的输出都可以通过平移加权得到。

另一种并不直观，就是把输入信号分解为弦信号，即傅里叶分解。（对于实信号，是sinθ和cosθ；对于复信号，是e^iθ）。为什么要这么分解？因为对于线性时不变系统，弦信号在通过系统后只有相位和大小的变换，频率不发生改变。输出信号是输入弦信号的线性加权。这反映的是物理世界的本质，即我们的世界很大部分是线性时不变的，是由微分方程控制的，弦信号通过系统只有幅度变化和时间延迟。

#####5.1 信号的时域分解 把信号分成一个个时间点的信息的和，成为时域分解。

这种分解下对应的书写符号系统是卷积。卷积是线性叠加的直接结果，没有概念跳跃，其符号系统的复杂性不该影响理解。

1、 从输入的角度看，是每个时间点产生的输出信号的叠加。

2、 从输出的角度来看，是输出的每个时间点找寻那些输入的点做了贡献。

“信号卷积的翻转”对符号系统的便捷性记忆方法，往往脱离理解和实际意义。实际上，翻折是线性时不变的必然。

虽然时域分解很直观，算法也简单粗暴。但这种分解并没有给我们增加太多方便。

####6、信号与系统的第一“假设”——傅里叶分解

信号与系统的基石，就在于以下两个数学结论。如果不理解的话，也可以暂时当做信号与系统第一假设和第二假设，其他所有性质和引入的符号系统，都是这个的推论。下面逐步展开，直到符号系统到s和z变换为止。并从符号系统和几何性质对照讲述变换的性质、希尔伯特变换。

一个周期即可表征信号的所有信息。所以一个有限长信号可以看做是周期信号的一个周期。

对于一个N点的复信号，就对应着N个复数分别加权的单复信号。原信号每一个点对应的复数（向量），都是N个的复单信号在该点对应复数（向量）的和。这符合我们的直觉，N个独立的复数经过某种变换，得到了N个独立的复数，信息量完全没有变化（如果已经理解了线性代数里基的概念，那么很容易理解“独立”意味着什么)。

连续函数由无限个点组成，即N为无穷大。连续信号是离散信号的极限

对于连续周期信号，即无限个复数对应于无限个复数（这两个无限数量上是相等的）。 即连续周期信号的傅里叶级数（）。其几何解释为，其符号系统为。

如果看做是周期无限大的信号，即补零信号，那么对应于无限个复数。因为周期无限大，所以加法∑用∫表示。其几何解释为，其符号系统为。

对于离散周期信号，即无限个复数对应于无限个复数。但因为一个周期N点即可表征所有信息。这无限个复数中只有N个是独立的，即DFT。其几何解释为，其符号系统为，其线性代数符号系统为。

对于N点离散信号，看做补零后周期无限长信号，对于于DTFT。其几何解释为，其符号系统为。

####7、 信号与系统的“第二假设”： **“第二假设”：信号时域间互相加权，等于频域上互相加权。**

接第四节继续讨论系统。第四节阐述了系统即等价为一个信号h(t)，采用第一种分解方式，需要通过计算输入信号x（t）和h（t）的卷积来得到输出信号。

而采用第二种分解的话，输入信号x(t）分解为弦信号，h（t）也分解为弦信号。而非同频弦信号间的卷积为0，同频的卷积得到的是系数相乘的同频弦信号。

为什么要引入系统和信号的统一性，加权表。以及弦信号是线性时不变系统特征根（线性时不变系统是不是一定是微分方程？），滤波。

（复数信号，截面是二维的而不是一维的。引入的符号系统是频谱为核心的傅里叶符号体系。以及由这个体系所对应的对信号变化的操作）。

4、关于抽样的对应频谱的符号系统

5 性质的对应。符号系统和图像系统的比照。

6、s域和z域的引入

7、希尔伯特变换 解析信号以及因果信号

8所有其他想过的问题

###二、 解构信号与系统

若未将其作为工具，那么理解就很有限。我暂时只能做最容易的事，即破坏已有的体系，提供一种模糊的猜想,却没能力支撑新的体系。随着以后重新学习数学和物理，会逐步修改加入新的体会。

要找人写的书来看，不要看人编的书。一个问题一本书一个人会从某个角度去思考，看多了每个人思考的角度，更有利于发现其实本质是什么。

齐世民的评论：复数的使用 我们在工科数学中都会将如何用复数讲交变电流以及振动现象，表面上看这是一种“方便”，其实稍想一下就会发现，并不是电流、电压等取了虚数值，而是实数现在已经不足以描述它们。需要平面向量，而平面向量就是复数。这里的情况和2维欧式平面的运动需用复数来描述是一样的。

具体到信号这门课

1.Understanding ~

2.Steven W.Smith

（离散系统是对连续系统的抽样，在符号系统上，有个很好的对应关系，即引入抽样冲激串。但本质上只是因为周期性）（因为都是周期且离散的）

至于非周期信号的连续频谱，概念上非常连续。

复数？

为何要引入空间螺旋线？

符号系统是人为的设定，但有其现实世界的基础，这就是人类直觉的由来。最底层的符号系统，比如平行线公理，如此的切合人类直觉，以至欧式几何及牛顿物理如此根深蒂固。非欧几何和相对论和量子物理才如此难被认可。

1 记法简单也许理解复杂

[深入理解数字信号处理]

自己闷头读书容易走进死胡同，如果有现实世界指引，解决什么具体问题，还有可能自己爬出来，否则很容易被坑到死 经典图书