lafmad

符号系统：数学符号表示的抽象概念

直觉经验：概念在真实世界的对应物，人对世界的感觉，主要是几何和物理，以及逻辑的简洁性

1、乘除法算式，小孩速算

符号系统可以把思维过程机械化，因为符号系统的算法规则（交换率、结合律等）已经把思维的过程内嵌进去了。通过乘法竖式（位置、进位）和除法竖式，只要对运算规则记忆准确，人可以完全机械的得到正确的答案，而本质的计数过程被完全掩盖了。

普通人只能一次处理少量运算，算式将复杂的运算分解为了多步简单运算。乘法竖式算法将多位数乘法分解为 一位数之间的乘法 及 进位。除法步骤是乘法的逆过程，将每步除法倍数控制在10以内。 两者逆的非常明显，但我直到今天才发现其实就是算式倒着写。

又比如速算，在会用符号系统书写乘法后，那些速算的本质就非常明显。但对不会符号化乘法的小孩来说，纯粹是机械记忆操作口诀（比如图示这条”对于十位数相同，个位数和为十的两个两位数的乘法“，方法是“十位数加一乘以十位数，所得放在前面；个位相乘，所得写在后面”），如果速记能带给他们快乐还好，可惜往往不是，而且由于可能记混各种速记条件和操作规则，让他们对算术更加失去信心  (惨状可参见木遥：什么是理想的数学教育)。

</br> 2、进制转换

存在先于解释，数独立于计数。无论什么物种，无论使用什么符号系统计数。

操作过程直观的说，就是给眼前一堆石子计数。比如十进制，就是超过9就没有新的符号来表示了，只能从0~9中组合新的符号，那就10个一小堆，给一个标记10。如是数到第十小堆堆，又没符号表示了，将十个小堆标记为100（一中堆）。如是数完十中堆，标记为1000（一大堆）。 （这是阿拉伯数字的记法，这样一来，位即可代表进制的量级，相加会非常简单，只需一条进位规则。对比于罗马数字计算的繁琐，就能明白一个简单的符号系统，能够多大程度的简化计算）

再比如八进制，8个成一堆后，只能从0~7中组合符号来标记，故标记为10。如是堆满八堆后，两位的符号用完，必须再启用新的符号，标记为100.（这时候是8堆8个石子，换算为十进制就是8×8=64；由于位代表了进制的量级，即算法八进制 100_<8>=（1×8²+0×8¹+0×8⁰）_<10>的由来）

最奇妙的是2进制。只要有无之别，就可以完备的表征所有整数。无中生有，二生万物，^_^。2个一小堆就必须用10表示，4个一中堆就必须用100表示，8个一大堆就必须1000表示.

（算法基于此可以机械化表述：从其他进制转换到10进制，只需要将每一位×进制相对应的量级；而从10进制转换到其它进制，要按进制的量级来分堆，也就是所有计算机书上那不断除法过程所蕴含的意义）

3 九进制生物

我们现在的手算能力是基于 阿拉伯数字和算式 这套符号体系，这体系基于位，不同进制只影响满多少进位。作为人类，我们习惯于十进制（估计是因为我们有十个手指头）。但假如某外星球生物只有9个的话，采用9进制后，乘除法算式会发生什么？本质上没任何变化。只要我们继续遵守该符号系统规则，每一位还是进制的幂方。不过他们会对9的倍数非常敏感。乘以9的熟悉和方便，就会像我们现在乘以10。而乘以10会像我们现在乘以11一样别扭。

比如我们数了9堆石头，每堆173个（2×9²+1×9+2），发现一共是1557个 石子。他们会惊讶于我们的笨拙，因为对他们来说是显然的。他们会指着我们眼中173个一堆的石子堆说，“一堆212，九堆当然就是2120个石头”，愚蠢的人类居然还要数！ （当然，作为人类，我们一般是先口算十堆为1730个石头，再减去173个石头，得到1557个）

</br> ##一、 缘起

</br> 在学《信号与系统》的时候，我遇到了很大的阻力，最开始对着满篇的公式，完全不知道如何下口。但后来才发现，信号和微积分一样，本质思想非常直观简单。真正困扰我的，是学院派书籍的一整套符号系统。以至于我偏激的认为，这些书都不是写给人类看的，是加密后写给一些外星球数学生物看的。（同感木遥：为什么没人喜欢学习高等数学 和 木遥：什么是理想的数学教育）

学院派的书籍，过于沉迷于符号系统，对初学者极不友好，基本就是在消磨入门的信心和前进的心情。而通过做一些编出来的习题去熟悉符号系统，是反人性的，人类学习应该是工具型的，直觉和意义导向性的。

在和真实世界对应的领域，符号系统是一套速记系统，为了更好更方便的表述我们的认识，从属于我们对世界的了解。必须以理解真实世界为目的逐步引入符号系统。如果一开始就纠结于符号系统，基本上就死定了。其枯燥和痛苦足以磨灭一切兴趣和热情。而人类是兴趣和乐趣驱动的物种，鞭子不能带来思考。

当理解符号系统所代表的意义之后，其威力才开始展现。所以我觉得初学者应该时不时跳出符号系统，而去理解到底自己在干什么，怎么干的，为了解决什么问题，引入了哪些概念，定义了哪些工具。越口语越好。符号系统必须是理解之后，自然而然的结果。如果不引入教科书的（书写最简单，但理解困难）符号系统，表述会很啰嗦，书写会很难看，但这丝毫没关系，自己理解之后，自然会用书上的符号系统简化书写。

当今的书写系统下，写的直白完全不是问题。我们当下的数学符号系统是纸笔时代的产物——图片印刷费劲，视频没有，3D动画效果没有，实体模型难以制造且昂贵。过于依赖纸面简洁记号，缺乏空间符号——过于简洁以至于伤害到了理解。实际上，奥本海姆87年的视频讲课，已经将平面的例子和魅力推到极限，但现在这个年代，游戏、娱乐、电影已经充分展示出空间效果的威力，是该尽可能减少那些困于纸面缺少空间符号系统而引起的不必要的困惑的时候了。信号系统教材应该以向量为中心，进行空间表述，从而明确复数引入的必要性。毕竟只有偶对称实信号（其频谱为实偶）才能在平面用cos信号分解展示，但这样处理完全无法解释为什么要引入复指数。而认为仅仅是为了书写和计算方便是幼稚的。真实原因是齐民友在《复分析：可视化方法》译后记指出的:

我们在工科数学中都会将如何用复数讲交变电流以及振动现象，表面上看这是一种“方便”，其实稍想一下就会发现，并不是电流、电压等取了虚数值，而是实数现在已经不足以描述它们。需要平面向量，而平面向量就是复数。这里的情况和2维欧式平面的运动需用复数来描述是一样的。

也不应该认为负频率仅仅是数学处理的副产物没有意义。 ①Understanding

②西交大某教授文章

</br> ##二、直觉的核心地位 </br> 当我们在操作时，都是程序化的，其下掩盖着直觉。最本质的概念，应该是最直观的直觉。即使到数学建筑的高层，存在反直觉的一些东西；但反直觉本身也是一种和直觉的关联，是直觉相反方向的启发。直觉仍是母体，我们只能通过自己熟悉的东西，去试图理解新的概念，直到它被熟悉。

</br> ###①王垠的文字：

他们“分享”给你的东西，往往是一堆琢磨不透的符号和公式，他们提出一堆可怕的术语来吓唬你。他们告诉你的只是思维的“结果”，而不是思维的“方法”(也就是所谓“直觉”)。等你通过自己的独立思考得到同样的东西，却发现这些大师们其实一直把直觉隐藏在很深的地方，故意的让你知其然而不知其所以然。他们甚至会诋毁直觉本身的价值，试图让你相信他们想出那些公式没有通过使用直觉，试图让你相信只有那些吓人的公式，定理和证明才是可靠的，而直觉是不可靠的。可是真正的直觉却是非常强大的，只要得到了它，你就可以完全的理解那些公式，而且会知道它们是怎么来的，甚至发现里面存在的问题，想出新的公式。

大师们提出的高深的理论，好些已经在我心目中被默默的“杀死”了。对我来说，它们不过是用一堆吓人的数学公式，翻来覆去的表达一些用几句话就可以说清楚的东西，而且它们好多其实已经被另外的东西所超越。

引自王垠《王垠：对博士学位说永别》

在乎本质，而不是名称。Feynman 是在讲授他对一些概念本质上的理解，而不是拿一堆可怕的术语来吓唬人。如果你仔细看的话，会发现有好几次他搞不清楚一些东西的名字，历史事件发生的年代，提出某种理论的人的名字，…… 但是他却知道这些事物的本质是什么。而他的幽默气质，却让这些被忘记的名字不至于对他产生反感。

引自王垠《看 Feynman 演讲视频有感》 </br> </br>

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###② Tristan Needham《复分析：可视化方法》： </br> 当一个人随便打开一本关于随便什么主题的现代数学教材时，他面对的就是抽象的符号推理，而与他关于实际实际的感官经验完全脱节，尽管他正在研究的现象时常是借助于几何（还有物理）直觉才发现的。近百年来，形象思维在数学中的名声被玷污了。虽然伟大的数学家们从来也不顾及这种风尚。本书将用可视化的论证方式解释初等复分析，公开的对抗当前占统治地位的纯符号逻辑推理。

众所周知，1665年出版的牛顿的微积分最初版本和我们现在学的微积分很不一样：它的本质是幂级数运算，牛顿把对于幂级数的运算比喻为在算术中运用的十进制小数展开式。符号运算——现在每一本教科书上的那种微积分讲法——通常是和莱布尼兹的名字联系在一起的，牛顿虽然完全熟悉它，却认为它对于自己只有附带的意义。毕竟，牛顿掌握了幂级数就能计算∫e^-x2dx那样的积分，就像计算∫sinxdx一样容易，请莱布尼兹也来试试这件事！但是到了1680年左右，牛顿对这两种方法都不再着迷，那时他着手来撰写微积分的第3种版本，并以几何为基础。这种“几何微积分”正是推动牛顿的《原理》走向辉煌的物理学的数学动力。

后来我才逐渐看到这种思维方式可以多么自然地用于复平面的几何学——这已是发现复平面几乎300年后的事了！

本书无疑还有许多未曾发现的毛病，但是有一桩“罪行”是我有意去犯的，对此我也不后悔：许多论证是不严格的，至少表面上是如此。如果你把数学仅仅看成是人类的心智所创造的，是岌岌可危地高耸的建筑物，这就是一桩严重的罪行。追求严格性就好比是绞尽脑汁来维持这栋建筑物的稳定，以防止整个建筑物在你身旁轰然倒塌。然而，如果你和我一样，相信我们的数学理论只不过是试图获取一个柏拉图式的世界的某些侧面，这个世界并非我们创造的，我就会争论说，开始时缺少严格性，只不过是付出了小小的代价，使得读者能比采用其他方式更直接更愉快地看透这个世界。

</br> ###③齐世友《复分析：可视化方法》译后记： 正如作者指出的那样，应当像物理学家对待实验室那样对待计算机：用它来发现或验证新思想，解决新问题。作者认为，他的这本书诞生于——“牛顿的《原理》的创世纪中”。他从牛顿那里学到了方法，就是强调问题的几何本质，强调从事物的几何与物理侧面来直观的理解事物。

著名数学家克莱因在他的《高观点下的初等数学》中指出，数学的发展和教学有三种进程。进程A的特点是强调概念的明确性，逻辑上的无懈可击，方法的简单性，逐步演绎，环环相扣，绝无不必要的引申，总之，使数学成为严整的体系。其陈述方式则是：定义、定理、证明、推论。每句话每个式子都要有根据。进程B，也是克莱因特别推崇的进程，则强调数学概念的生成和发展、强调各个分支的相互联系，强调逻辑推理后面的直觉和物理内涵。其陈述方式则主张夹叙夹议，娓娓道来，生动活泼，发人深省。已故的吴大任教授，在为《高观点下的初等数学》译本的序言中说，克莱因的思想可以用“融合”二字来概括：数学与物理学的融合，数学各分支的融合，逻辑推理与直觉的融合，还有数学的逻辑展开与历史发展的融合。

克莱因还以欧拉公式为例，详细的讨论了进程A和进程B的比较。他尖锐的批评了当时（19世纪末）德国数学教学。实际上他的批评对我们今天的教学也完全适用。e是怎么来的？其“自然”何在？欧拉公式是天上掉下来的么？我自己就遇到过类似的问题，幂级数e^ix=∑（ix）ⁿ/(n!)每一项都没有周期，为什么加起来就有了周期？总之，学生们逻辑上接受了某个结论，不代表理解了这个结论。

如果比较进程A和进程Ｂ的优劣，会得到进程Ｂ远优于进程Ａ的结论。本书作者当然是这么看的。但是克莱因尽管充分评价进程B，却认为这两者都是数学发展所必须，互相切磋互相补充。克莱因说的很对，在教学和研究中，采取哪一种进程，视个人的学识素养和爱好而定，也视整个数学发展的需要而定。为什么牛顿特别倾向几何学？至少部分是由于在牛顿的时代几何学最成熟，而且是人们（不仅是牛顿）解决科学问题最有力的工具。牛顿和其同时代的大科学家（还应加上伽利略）都是欧式几何高手。他的《原理》一书可以说是充满了求解“几何难题”的例子，以至于微积分的基本思想：略去高阶无穷小，也时常隐藏在几何难题后面，所以读起来很难得其三昧。

本书作者这样做，值得我们效法。这当然有很大的难度。所以牛顿之后，如欧拉、拉格朗日以及拉普拉斯，就以分析的方法来处理同样的问题。欧拉说过，完全几何的方法，时常难以解决力学问题，或者只能部分的解决。而拉普拉斯的名著《天体力学》则把天体运动研究完全归结为研究微分方程。再考虑到微积分的基础经过200多年的锤炼，借助ε-𝜹语言得到了较完美的解决，进程A就占据了统治地位。当然，从几何和物理侧面考察问题的方法，也就退居后台了。19世纪的数学发展，风向似乎由有了改变。这里起决定作用的有高斯，特别是黎曼（他是本书特别推崇的大师）。“回到牛顿”也许是20世纪才有的口号，但潮流的改变在当时已经十分明显。不妨说，这是本书的一条主线。

学一门基础课，就应该是打开了通向数学发展主流的一扇门。

</br> ###三、 符号系统相关文字：

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####① 爱因斯坦

准确的说，“思维”是什么呢？当接受感觉印象时出现记忆形象，这还不是“思维”。而且，当这样一些形象形成一个系列时，其中每一个形象引起另一个形象，这也还不是“思维”。可是，当某一形象在许多这样的系列中反复出现时，那么正是由于这种再现，它就成为这种系列的一个起支配作用的元素，因为它把那些本身没有联系的系列联结了起来。这种元素便成为一种工具，一种概念。我认为，从自由联想或者“做梦”到思维的过渡，是由“概念”在其中所起的或多或少的支配作用来表征的。概念决不是一定要同通过感觉可以知觉的和可以再现的符号（词）联系起来的；但是如果有了这样的联系，那么思维因此就成为可以交流的了。

读者会问，这个人有什么权利，在这样一个有问题的领域里，如此轻率而原始地运用概念，而不作丝毫努力去做点证明呢？我的辩护是：我们的一切思维都是概念的一种自由游戏；至于这种游戏的合理性，那就要看我们借组于它来概括感觉经验所能达到的程度。“真理”这个概念还不能用于这样的结构，只有在这种游戏的元素和规则已经取得了广泛的一致约定时，才谈得上“真理”概念。

毫无疑问，我们的思维不用符号（词）绝大部分也都能进行，而且很大程度上是无意识进行的。否则，为什么我们有时会完全自发地对某一经验感到“惊奇”呢？这种“惊奇”似乎只是当经验同我们的充分固定的概念世界有冲突时才会发生。每当我们尖锐而强烈的体会到这种冲突时，它就会以一种决定性的方式反过来作用于我们的思维世界。这个思维世界的发展，某种意义上说就是对“惊奇”的不断摆脱。

我一方面看到感觉经验的总和，另一方面又看到书中记载的概念和命题的总和。概念和命题之间的相互关系具有逻辑的性质，而逻辑思维的任务则严格限于按照一些既定的规则来建立概念和命题之间的相互关系。概念和命题只有通过它们同感觉经验的联系才获得其“意义”和“内容”。后者同前者的联系纯粹是直觉的联系，并不具有逻辑的本性。科学“真理”和空洞幻想的区别就在于这种联系，即这种直觉的结合能够被保证的可靠程度，而不是别的什么。概念体系连同那些构成概念体系结构的句法规则都是人的创造物。虽然概念体系本身在逻辑上完全是任意的，可是它们受到这样一个目标的限制，就是要尽可能做到同感觉经验的总和有可靠地（直觉的）和完备的对应关系；其次，它们应当使逻辑上独立的元素（基本概念和公理），即不下定义的推导和推导不出的命题，要尽可能少。

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</br> ####② Keith Devlin 《the Math Instinct》

国内译名非常扯淡，《数学天赋：人人都是数学天才》，但内容完全是通过对自然各个方面内蕴数学的观察，探寻数学的本质。自然界本身就是数学运行的方式，人类的数学是对其的一种符号系统表述。

</br> 数学vs符号

事实上，大多数数学家并不把时间耗费在算术计算上。数学是关于模式的，模式是生活的真谛。

现在，大多数数学书中都充满了符号。但是就如音符不是音乐一样，数学符号更不是数学。印在纸上的符号只是数学的体现。当受过数学训练的人阅读时，纸上的符号就会活起来，在读者脑子里生存和呼吸。

没有这些符号，数学的大部分根本不会存在。对抽象概念的确切认识和用于描述它们的适当语言的发展正如一个硬币的正反两面。有了符号，运用概念进行思考就有了可能。

随着对数学的程序和计算方面的重视，数学语言或概念常常被忽视。人们常常抱怨，如果不是这些抽象的符号，数学将更容易和更有吸引力。这相当于说，莎士比亚用更简洁的语言写作将更易为人理解。 （lafmad：语言抽象和难理解，根源于世界的复杂。但语言若抓到世界本质，由我们直觉（我们是世界的一部分，直觉反映着世界的某些基本规律）而引申，才是优秀的语言；是否容易理解在于个人是否有相关体验，以及能否和以往经验联系起来。）

跳出符号之外，数学、模式的科学就可以归结为一种研究时间的方式，包括物理、生物和我们居住的社会世界，已将我们的精神和思想的内心世界。 在今天这个由信息、通信和计算所控制的时代，我们生活的各个方面几乎没有不受数学影响的；因为抽象的模式是思维、通讯、计算、社会和生命本身的本质。

</br> 街头数学vs学校数学

当孩子们的算术在市场摊位时几乎没有错误。但当用典型的学校格式提出同样的算术问题，正确率大幅变低。因为他们在学校里所学的标准计算程序的回忆是混乱的。他们将努力运用已遗忘很久，可能从未理解的学校数学步骤。 （me：同样的问题，在不同情景下，会激活不同的处理算法。而生活的算法是熟悉的有意义的，学校的算法是缺乏明确意义的）

超市消费者往往通过一系列的线性变换，将几乎所有数值问题变为一个他们容易发现的等价问题，往往避免采取任何学校意义下的计算。学生死记硬背学校所教的变换过程，却没有任何理解。

对于掌握了两种方法的人来说，学校方法更为容易，但他们经常在数字有直接的现实意义的情况下使用数字，并通过线性的方法降低计算难度。

####《Mathematic Education for a New Era》_{—Video Games as a Medium for learning}

认为学校的符号数学是真实生活中数学 在纸上的替代物，是错误的。

Abstract, symbolic math—the kind usually performed using pencil and paper—is a very different mental activity to what I am calling everyday math performed mentally in a real-world or simulated world-like context. To think of the former as simply a representation on paper of the latter is misleading and wrong.

许多高等数学在现实世界中并无对应基本概念，唯一的办法是学习符号系统，忍受最初的无意义。(参照李笑来的这篇文章读不懂并不妨碍读完)

（lafmad注：今年蹭听谷源涛的课，多次强调“不要觉得学的东西太抽象。在大学阶段学的所有数学，在真实世界都有起对应物，是真实物理世界的反映和描述，所有的思考都可以或曾经用来解决真实的问题。真实世界有足够多的场景提供了足够多的应用。”“比如h（z），最终会是实现某种功能的一个程序。h（s），最终会变成一块某种用途的电路板。”。

所以我觉得，在初等数学，物理的学习中，明明对应着真实世界的概念，如果还是让学生硬学符号系统，而且还是国内教材阉割过的只剩骨架没有血肉的符号系统，就是折磨人类，属于反人类罪） （前引豆瓣“阅微草堂”所说：“国内的书仅仅是西方数学物理书的简写本，骨架和复习参考书。国内的许多数学书都是对于经典数学书的减肥，而减去的所谓的废话都是学科的本质。把关于学科重要的意义给删除了。国内的数学物理书和国外经典教材差距很大，当你读国内的书的时候，你会得到很多错误的和陈旧的观念，本来不难的你会觉得困难。国内翻译教材的力度过于缓慢，有时翻译的也不是重点的书籍，很多时候会被翻译过来的书耽误学习方向”）

many of the concepts of advanced mathematics (roughly, calculus and beyond, though the transition occurs prior to that) are linguistically constructed, and have no natural real world meanings. This is not to say that the concepts cannot be applied to the real world. Indeed, in many cases that is precisely why they were developed in the first place. But those and other advanced math concepts are created through the symbols used to represent them. In my view, you cannot, ef- fectively construct them from more basic concepts. Their meanings have to be bootstrapped within mathematics, and that means there is no alternative to mas- tering them than to first learn the formal definitions and the symbolic manipula- tion rules, then use them repeatedly—at first without understanding them—in different mathematical contexts, until their meaning emerges.

即使可以通过对应真实世界来学习，学校教育也难以实现，因为这种学法耗时太长。在大一就必须学会解微分方程，否则他们后续课没法上。他们没时间理解符号系统，只能记住如何操作，知道什么情况下使用和使用限制是什么。

Even if it were possible in principle, it would take far too long. For instance, the university student of physics, engineering, or economics needs to be able to solve differential equations by the end of the freshman year or they will not be able to make any progress in their main subject. They do not have the time to ac- quire conceptual understanding of what they are doing. The most that is possible in the limited time available is to achieve some degree of what I have called func-tional understanding; namely, knowing when and how to apply each technique and what its limitations are.

之所以能死记硬背规则是因为人类大脑本身就是一个自然进化而来的符号操作系统。我们是语言生物，可以在毫不理解的情况下记住符号规则。因此一代代学生学会了如何如何对方程求导，而后在科学、工程等领域有效使用。他们经常在完全不理解求导意义的情况下使用。对他们来说，微积分只是一个工具，他们知道什么时候用和怎么用就够了，尽管从数学观点来看真正的意义被隐藏在符号系统之下了。

The “learn-by-the-rules approach” works because the human brain is a naturally evolved symbol processor. We are linguistic creatures and can learn symbolic processing rules, without any need (other than perhaps a psychological desire)to understand what they mean. Hence generations of students have learned how to compute derivatives of functions, and to make effective use of that ability in their subsequent careers as scientists, engineers, or others. They frequently do so without ever understanding what the derivative means. To them, calculus is simply a tool. They know when and how to use it and that provides sufficient meaning for successful use, but from a mathematical viewpoint the real meaning remains hidden.

在早期阶段，概念直接来源于真实世界，只经过一步抽象。在这个阶段，学习如同游泳，从浅水区一步步向深水区进展，直到不再需要地面的支持。但是在高等阶段，比如学习微积分，就像直接扔到深水区，你要么通过模仿示范动作学会游泳，要么就死翘翘。

（lafmad注：微积分算早期阶段还是高等阶段？根据《复分析：可视化方法》，牛顿微积分采用的方法相比于莱布尼兹的符号系统，更符合直觉和适宜理解。莱布尼兹的符号系统可以简化书写和运算，但阻碍了理解。而且即便在高等阶段，只要能够在记忆符号系统的过程中，尽可能的对应直觉，或者几何或物理世界中该系统的应用，会更有效的学习符号系统）

even in the early stages such as learning numbers, the symbolic representation precedes acquisition of the con-cept. But in such cases, the concept comes directly from the familiar real world by a single-step abstraction, so the learning process is different. An analogy would be that learning to count collections and acquire the number concept is like learning to swim by stepping into the shallow end of the pool and moving slowly into deeper water, at first taking one foot off the ground, then taking small swim-like hops until you no longer need the support of the ground. In contrast, learning cal- culus is like being thrown in the deep end. There is no support from the ground. You either learn to swim by performing the actions the instructor showed you, or else you sink. Unfortunately, for many students this metaphor is all too apt for calculus instruction.

因此，微积分往往是一个工具，你不知道原理，但你知道怎么用。就好像很少有人知道汽车或者计算机的原理，但是丝毫不影响使用。熟练使用技术并不要求理解原理。你可以仅仅依靠遵守符号系统的规则，就正确的计算求导和积分。

（lafmad注：世界固然是无限层数的黑盒子。鸟不会空气动力学，照样飞翔；人无法了解社会的复杂，照样活着。但是人类如果要飞，就非得解开黑盒子，理解空气动力学的方程，仅仅是使用是不够的。只是初级的解微积分，当然可以啥都不了解，但这样的价值不大，完全可以交给电脑。我们之所以要学微积分，就是要做电脑做不来的思考。即使最初必须死记从而熟悉符号系统，但如果最终不解构符号系统，对应于真实世界，形成某种直觉，就谈不上任何灵活应用解决真实问题。而不是应试的游戏。）

Thus, calculus is in many ways a cognitive technology—a tool you use without knowing much, if anything, about how it works. For example, few people know how an automobile engine or a computer works, but that does not prevent those people from becoming skillful drivers or computer users. Successful use of a tech- nology generally does not require an understanding of how or why it works. It is because you can calculate derivatives, integrals, and the like simply by following symbolic rules that we refer to the method by the name “calculus.”

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###三、 一个对应——关于人类情感和语言系统的分离

每当我阅读报纸，听收音机，或坐在咖啡座留意人们的谈话时，心中常涌起厌恶感。为那些一再重复说出、写出的言词，一再重复使用的措辞，空洞的言词或譬喻感到厌烦。最糟的是，当我听到自己的言谈后却不得不承认，自己也一直重复使用同样的言词。这些言词已被彻底使用和毁坏，因使用了百万次而破损。破损的言词还具有意义吗？当然，言语交换依然有其作用，人们因此而行动，让人微笑和哭泣，向左走或向右走，让侍者端来茶或咖啡。然而，这并不是我想要问的。我想要问的问题是，这些言语还能表达个人思想吗？或只是效果强大的声音结构驱使人做出种种行为，只因为闲话铭刻在心的痕迹不断地散发光芒？

引自《里斯本夜车》